Главными осями называются такие оси координат, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

      Пользуясь теоремой о моментах инерции при повороте осей координат, найдем положение главных осей:

 

         

 

 

 

      Разделим каждое из слагаемых на cos 2α :

 

         

 

 

                                                        откуда

 

 

         

 

 

      Полученный угол α откладывается против часовой стрелки относительно исходной системы координатных осей.

       Моменты инерции в главных осях координат принимают экстремальные значения.

       Для доказательства возьмем первую производную от J x1 по α и приравняем ее к нулю:

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

       то есть среди множества осей, которые можно провести через заданную точку именно относительно

главных осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения.

       Взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна совпадает с осью симметрии, являются главными осями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.8 – Главные оси инерции

   

   Очевидно, что каждой элементарной площадке, расположенной по одну сторону от оси симметрии, соответствует точно такая же по другую сторону, для которой произведение координат отличается только знаком. Таким образом, центробежный момент инерции

 

         

 

 

       Главные оси можно провести через любую точку сечения, однако наибольший интерес представляют

главные оси, проходящие через центр тяжести (главные центральные оси).

      Интересно, что, если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой (Jx = Jy, Jxy = 0), то, согласно теореме о моментах инерции при повороте осей координат, у этого сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции одинаковы. Такие фигуры имеют более двух осей симметрии (равносторонний треугольник, квадрат, другие правильные многоугольники, круг, кольцо).

 

 

Изгиб. Эпюры Q и М.

Изгиб

 

   Изгиб - это такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении балки возникают изгибающие моменты.

    В общем случае в поперечном сечении балки могут возникнуть два изгибающих момента - Мх и Му. Их можно заменить одним суммарным, лежащим в плоскости, перпендикулярной сечению бал­ки. В зависимости от положения этой плоскости по отношению к главным осям сечения изгиб подразделяют на два вида. Если плос­кость действия изгибающего момента совпадает с какой-либо глав­ной осью сечения, изгиб называют прямым. Если нет - косым.

     В том случае, когда в сечении возникает только изгибающий момент, а поперечная сила отсутствует, изгиб называют чистым (Рис. 4.1слева). При наличии поперечной силы изгиб носит название поперечного (Рис. 4.1 справа).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1 – Пример изгиба

 

Правило знаков внутренних силовых факторов (ВСФ)

​

    В сопротивлении материалов для каждого внутреннего силового фактора принято вполне определенное правило знаков.

​

Правило знаков для продольной силы N

​

       Продольная сила считается положительной, если вызывающая её внешняя сила 

относительно рассматриваемого сечения растягивает стержень (Рис. 4.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2 – Правило знаков при  растяжении сжатии

 

Правило знаков для поперечной силы Qy (Qx)

​

    Поперечная сила считается положительной, если вызывающая её внешняя сила действует относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке (Рис. 4.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.3 – Правило знаков для поперечной силы.