Правило Верещагина

      «Интеграл произведения двух функций, из которых одна линейная, а другая – произвольная, равен площади произвольной функции, умноженной на ординату из прямоугольной функции, лежащей под центром тяжести площади произвольной функции».

       Пусть на участке длиной l грузовая эпюра ограничена функцией f1(z), единичная эпюра – функцией f2(z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.3 – Метод Верещагина

 

       Рассмотрим интеграл вида:

 

         

                                                                                                                             (5.19)

 

 

 

      Поскольку функция f2(z) всегда является линейной, то есть f2(z)=b+kz, то

 

         

                                                                                 

                                                                                                                                                        (5.20)

 

 

      Учитывая, что площадь грузовой эпюры равна,

 

 

 

 

      можно записать

 

          

 

                                                                                                                              (5.21)

 

 

 

 

       где интеграл

 

 

 

       представляет собой статический момент площади грузовой эпюры относительно оси y и может быть вычислен

 

         

                                                                                                                               (5.22)

 

 

 

       где zц.т. - абсцисса точки центра тяжести грузовой эпюры.

       Окончательно получаем

 

         

                                                                                                                                                         (5.23)

 

 

     Таким образом, по правилу Верещагина интеграл Мора определяется как произведение площади грузовой эпюры Ω1 на расположенную под центром тяжести грузовой эпюры ординату единичной эпюры f2(zц.т.), отнесенное к жесткости поперечного сечения EJx. Если грузовая эпюра является линейной, то произведение в формуле Верещагина обладает свойством коммутативности.

      Пример 1

      Определить перемещение среднего сечения консольной балки Рис. 5.4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.4 – Пример 1

​

   Поскольку обе эпюры являются линейными, при вычислении способом Верещагина возьмем площадь единичной эпюры и ординату грузовой эпюры, соответствующую положению точки центра тяжести единичной эпюры:

 

 

         

                                                                                                                                                    (5.24)

 

 

  

 

       Пример 2

       Определим прогиб ΔС конца консоли (Рис. 5.5).

     Построим грузовую эпюру моментов и эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной на конце консоли (Рис. 5.5). Используя правило Верещагина, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.5 – Пример 2

 

       Пример 3

      Пусть дана балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой q (Рис. 5.6). Вычислим прогиб балки в точке С при ее изгибной жесткости EI = const.

      При расчете учитываем только влияние изгибающих моментов, поэтому принимаем интеграл Мора в виде:

   

​

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

       Вычисляем перемещение ΔС  при помощи интеграла Мора:

   

 

 

 

 

 

 

     Вычисляем перемещение ΔС  при помощи интеграла Мора, но с использованием правила перемножения эпюр Верещагина:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.6 – Пример 3

   

       На Рис. 5.7 приведены формулы для определения площадей стандартных фигур и расположения центра

масс.

 

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Рис. 5.7 – Площади и центы масс стандартных фигур