Нормальные напряжения при чистом изгибе
Для определения напряжений возникающих в балке рассмотрим три задачи.
1. Статическая сторона задачи.
Воспользуемся интегральными уравнениями равновесия (1.12), (1.15) и (1.16):
(5.25)
2. Геометрическая сторона задачи.
Вырежем из балки элемент длиной dz. После приложения нагрузки он выглядит следующим образом:
Рис. 5.8 – Элемент балки
где ρ - радиус нейтральной линии. Нейтральной линией называется след нейтрального слоя, разделяющего балку на области растяжения и сжатия.
dθ - угол поворота сечения.
ab = dz – длина нейтральной линии для выбранного элемента.
Выделим волокно длиной a1b1 на расстоянии y от нейтральной линии. До деформации его длина равнялась ab. Относительное изменение длины волокна:
(5.26)
3. Физическая сторона задачи.
Запишем закон Гука в напряжениях и деформациях:
(5.27)
Подставим выражение (5.26) в формулу(5.27):
(5.28)
(5.29)
Учитывая определение (3.12), получим:
откуда
(5.30)
Произведение EJx называется жесткостью поперечного сечения при изгибе.
Подставим (5.30) в (5.28):
Таким образом, абсолютная величина напряжения тем выше, чем больше расстояние y от нейтральной линии. Максимальное напряжение:
где ymax – расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленной точки сечения.
Введем следующее обозначение:
- момент сопротивления, тогда условие прочности при чистом изгибе можно
записать следующим образом:
Для отыскания положения нейтральной линии в области поперечного сечения привлечем оставшиеся два интегральных уравнения равновесия (5.25):
откуда Sx=0, т.е. ось x является центральной.
откуда Jxy=0, т.е. ось x – главная.
Вывод: нейтральная линия является главной центральной осью поперечного сечения.
Для случая прямоугольного сечения можно утверждать, что ось x – нейтральная.
Рис. 5.9 – Нейтральная ось прямоугольника.
Таким образом, в отличие от случая растяжения-сжатия, где напряжение постоянно в любой точке поперечного сечения, при чистом изгибе напряжение по высоте сечения изменяется по линейному закону.
Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
При проектировании элементов конструкции, работающих на изгиб целесообразно использовать сечения с размерами, удовлетворяющими условиям:
σmaxс=[σ]c…..σmaxρ=[σ]ρ
где σmaxс и σmaxρ – напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии точках
сечения, соответственно для сжатой и растянутой его части.
Пластичный материал
Для пластичного материала [σ]ρ=[σ]c. В данном случае рационально использовать симметричные профили (при этом σmaxρ=σmaxс).
Экономичными являются профили с уменьшенной металлоемкостью в области нейтральной линии, такие как двутавр и швеллер. Показателем экономичности является удельный момент сопротивления
Чем выше величина wx, тем профиль более экономичен.
Для круга wx=0,141.
Для кольца d/D=0,7 wx=0,294.
Для двутавра №10 wx=0,955.
Для двутавра №20 wx=1,33
Сечение следует располагать таким образом, чтобы силовой фактор действовал в плоскости максимальной жесткости.
Случай 2 более выгодный, т.к. W(x)(2) ≥ W(x)(1)
Рис. 5.10 – Варианты расположения сечений
Простое увеличение размеров сечения не всегда эффективно. Так, если у круглого сечения
вырезать сегменты высотой в пределах 0,11d, получится более экономичный профиль, чем сплошной круг.
Рис. 5.11 – Круг с вырезанными сечениями
Хрупкий материал
Для хрупкого материала , поэтому в данном случае целесообразно использовать несимметричные
относительно нейтральной линии профили, например, тавровый:
Рис. 5.12 – Напряжения в тавровом профиле
Размеры поперечного сечения должны удовлетворять двум условиям:
(5.31)
(5.32)
Из подобия треугольников эпюры σ(Мх) следует, что
Если правая часть больше, то опасными являются сжатые волокна и расчет на прочность следует вести по формуле(5.31).
Если правая часть меньше, то опасными являются растянутые волокна и расчет на прочность следует вести по формуле (5.32).
