Перемещение при изгибе. Аналитический метод. Интеграл Мора. Способ Верещагина.

Примеры расчета перемещений.

Основные понятия.

​

       Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает

вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок называемой упругой линией.

       При этом точки оси получают поперечные перемещения (у), а поперечные сечения совершают

повороты относительно своих нейтральных осей на угол (θ) Рис. 5.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.1 – Изгиб

​

       Перемещение и угол поворота сечения связаны зависимостью

​

         

                                                                                                                   (5.1)

 

 

       В пределах упругих деформаций углы поворота поперечных сечений , поэтому принимают , тогда

​

         

                                                                                                                    (5.2)

 

 

   Дисциплина сопротивление материалов рассматривает детали до их разрушения, поэтому основными свойствами упругой линии являются  плавность  и неразрывность.

      Интенсивность деформации изгиба элемента балки длиной (Рис. 5.1) определяется искривлением

продольной оси .

Между искривлением продольной оси и изгибающим моментом имеется связь, которая отражается следующей зависимостью:

​

         

                                                                                                                       (5.3)

​

​

       где ρ -  радиус кривизны,

       Мz(х) – Изгибающий момент в сечении к координатой х,

       Е – модуль упругости,

       Iz – момент инерции поперечного сечения балки  относительно оси Z.

    Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой y (x) выражается следующей формулой:

​

         

                                                                                                                     (5.4)

 

 

 

      Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений, в этом случае y' близок к нулю и отношение (5.4) примет вид:

​

         

                 

                                                                                                                    (5.5)

 

 

    Однако, стоит отметить, что выводы, сделанные на основании отношения (5.5) справедливы только для случая малых перемещений.

 

Аналитический метод определения перемещений.

 

  Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии может быть получено на основании зависимостей (5.3) и (5.5) и имеет вид

 

         

 

                                                                                                                     (5.6)

 

 

       Двукратным интегрированием уравнения (5.6) получают уравнения искомых перемещений (угла поворота

и прогиба):

 

 

                                                                                                                                        (5.7)

 

 

                                                                                                                                        (5.8)

 

 

 

 

       где (5.7) - уравнение углов поворота;

             (5.8) - уравнение прогибов.

       Постоянные интегрирования C и D определяют из граничных условий:

       в сечении с жесткой заделкой угол поворота и прогиб равны нулю;

       в сечении с шарнирной опорой прогиб равен нулю.

​

       Физический смысл постоянных интегрирования:

      первая постоянная интегрирования C равна значению угла поворота в начале координат, увеличенная в  раз;

      вторая постоянная интегрирования D равна прогибу балки в начале координат, увеличенная в  раз;

   Для каждого участка составляется свое уравнение изгибающих моментов, следовательно в результате интегрирования для каждого участка получаем уравнения (5.7) и (5.8), со своими постоянными С и D, что значительно осложняет решение задачи.

    Для упрощения нахождения уравнения упругой линии балки разработан метод уравнивания постоянных  интегрирования. Метод позволяет добиться равенства постоянных C и D на всех расчетных участках. Метод заключается в соблюдении определенных условий (условий Клебша):

1. Начало координат выбирают на одном из концов балки и отсчет координаты x для всех расчетных участков ведут от этого начала координат.

2. Выражения изгибающего момента, составленные для первого участка сохраняют неизменными, для всех последующих расчетных участков балки.

3. Вновь вводимые выражения изгибающего момента для последующих участков балки записывают с сомножителем , где  - сумма длин предыдущих расчетных участков балки.

4. Если на границе участков приложен сосредоточенный момент, то в уравнение изгибающего момента его записывают с сомножителем .

5. Если равномерно распределенная нагрузка на границе некоторого участка заканчивает свое действие, то в выражение изгибающего момента для последующего участка записывают слагаемое, учитывающее ее вычитание.

6. Интегрируют уравнения по переменной  на первом участке и , без раскрытия скобок, на всех последующих расчетных участках балки.

 

    Правило знаков для перемещений: при выборе начала координат на левом конце балки прогиб считают положительным, если он произошел в положительном направлении оси ; угол поворота, противоположный движению часовой стрелки, считают положительным. Если начало координат выбрано на правом конце балки, то правило знаков для углов поворота меняется на противоположное, для прогибов - сохраняется.

      Определение перемещений в балке проводят с целью проверки ее жесткости.

      Условие жесткости имеет вид

 

         

                                                                                                                      (5.9)

 

   

       где |y max| -максимальный прогиб, [y] -допускаемый прогиб,

      Если значение допускаемого прогиба не указано то его можно найти из соотношений: 

 

   

Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.

(Формулку  сюдасечки)

​

    Найти величину прогиба можно и другими способами, наибольшее распространение получили

интеграл Мора и метод Верещагина.

​

ИНТЕГРАЛ МОРА

​

   Интеграл Мора может быть получен разными путями. Рассмотрим способ на основе работ внешних сил А и потенциальной энергии, накопленной в деформируемой балке.

  Определим прогиб в точке С оси балки, нагруженной некоторой системой внешних сил, для упрощения представим систему сил в виде действия одной сосредоточенной силы. Обозначим через δpp прогиб в направлении силы Р от силы Р, а δср прогиб в точке С от действия силы рис. Рис. 5.2 – Интеграл Мора.

    При статическом приложении сила Р произведет работу:

 

         

 

                                                                                                                  (5.10)

 

 

    где А – работа силы Р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.2 – Интеграл Мора

 

    Потенциальная энергия деформации для первого состояния

 

 

                                                                                                                       (5.11)

 

 

    где Мz – изгибающий момент от приложенных сил.

    Составляя баланс энергии А=U, получим:

 

         

                                                                                                                           (5.12)

 

 

   Рассмотрим состояние,  когда в точке С приложена единичная сила (Рис. 5.2), составим уравнение баланса энергии:

 

         

                                                                                                                             (5.13)

 

 

 

    где         – изгибающий момент от приложенных сил.

   Рассмотрим состояние, когда приложены оба, рассмотренных ранее фактора. Приложение к единичной силе дополнительного усилия P вызовет  дополнительные деформации балки, причем согласно принципу, независимости действия сил дополнительные прогибы будут такими же, как как и в первом рассматриваемом случае. Запишем уравнение работ:

 

         

                                                                                                                                 (5.14)

 

 

 

   У последнего слагаемого множитель ½ отсутствует потому, что к моменту приложения заданной нагрузки единичная сила достигла своего конечного значения и в процессе перемещения δср величины своей не изменяет.

   Изгибающие моменты для третьего случая равны суммам изгибающих моментов  от заданных нагрузок и от единичной силы, а потенциальная энергия деформаций:

 

         

                                                                                                                                                        (5.15)

 

 

    Баланс энергий в третьем состоянии

 

         

                                                                                                                                           

                                                                                                                                                     (5.16)

 

 

 

     Учитывая балансы энергии в первом и втором состояниях получим:

​

         

 

 

 

 

                                                                                                                                                          (5.17)

 

 

   Чтобы левая часть равенства содержала только прогиб, исключим единичную силу, разделив обе части на вспомогательную единичную силу.

 

         

 

 

                                                                                                                                            (5.18)

 

 

 

 

  Задача определения угла поворота сечения С приводит к тому же выражению. При выводе отличие заключается в том, что вместо единичной силы прикладывается единичный момент.

   Итак, прогибы и углы поворотов сечений балок  могут быть найдены из равенства называемого интегралом Мора(5.18).

   Для определения М1z(х) надо снять с балки заданную нагрузку и приложить в заданном сечении единичную нагрузку или момент в направлении этого перемещения. Моменты М1z(х) и Мz(х) надо подставить в интеграл мора с их  знаками. Положительный знак означает совпадение направление перемещение с направлением приложенной единичной силы.