Геометрические характеристики  сечений

Определение геометрических характеристик плоских сечений

Площадь сечения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения является площадь A, которую можно определить:

 

 

                                                                                                                     (3.1)

 

 

       где dA – площадь элементарной площадки.

 

Статические моменты площади

​

  Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Выделим элементарную площадку dA с координатами x и y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       Интегралы

 

         

 

                                                                                                                                (3.2)

 

 

                                                                                                                                (3.3)

 

 

 

       называются статическими моментами площади сечения относительно осей x и y, соответственно.

   Пусть точка C является центром тяжести сечения. Тогда, зная ее координаты, величины статических моментов можно определить:

 

         

                                                                                                                          (3.4)

 

                                                                                                                          (3.5)

 

 

      Статические моменты используются при определении координат центра тяжести (ЦТ) сложной фигуры.

      Алгоритм определения координат ЦТ сложной фигуры

      1. Разбить сложную фигуру на простые, положения точек ЦТ которых известны.

      2. Задать вспомогательную систему координат, в которой будут определяться координаты точки ЦТ сложной фигуры.

      3. Определить статические моменты простых фигур относительно осей вспомогательной системы

координат.

      4. Определить координаты точки ЦТ по следующим формулам:

 

         

 

                                                                                                                       (3.6)

 

 

         

                                                                                                                       (3.7)

 

 

 

       где i – номер простой фигуры, x и y – вспомогательные оси.

 

П р и м е р .

​

      Определить координаты центра тяжести следующей фигурыРис. 3.1 – Рисунок к задаче определения центра тяжести сечения Рис. 3.1.

      Так как данная фигура имеет ось симметрии (ось y), точка ее центра тяжести будет находиться на этой оси.

     Разделим фигуру на два прямоугольника с центрами тяжести в точках CI и CII. Выберем вспомогательную ось совпадающей с центром тяжести одной из фигур (ось x CII ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.1 – Рисунок к задаче определения центра тяжести сечения

 

       Статический момент вертикального прямоугольника относительно вспомогательной оси хCII:

 

 

                                                                                                                                     (3.8)

 

 

       Статический момент горизонтального прямоугольника относительно вспомогательной оси хCII:

 

 

                                                                                                                          (3.9)

 

      Координата точки центра тяжести фигуры относительно оси хCII:

 

         

 

                                                                                                                                       (3.10)

 

 

 

Моменты инерции

​

  Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Выделим элементарную площадку dA с координатами x и y и радиус-вектором ρ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.2 – Момент инерции площади фигуры

​

       Осевыми моментами инерции сечения называются интегралы

 

          

 

                                                                                                                      (3.11)

 

 

                                                                                                                      (3.12)

 

 

Центробежным моментом инерции называется интеграл

 

         

 

                                                                                                                        (3.13)

 

 

Полярным моментом инерции называется интеграл

 

         

 

                                                                                                                      (3.14)

 

 

Так как ρ2= x2 + y2, то

 

Jp = Jx + Jy, (3.15)

 

       т.е. полярный момент инерции сечения относительно заданной точки равен сумме осевых моментов

инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

 

Радиусы инерции

​

       Величины, определяемые по формулам:

 

         

 

                                                                                                                     (3.16)

 

 

                                                                                                                     (3.17)

 

 

       называются радиусами инерции относительно осей x и y соответственно.