Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
Рассмотрим консольную балку, нагруженную на свободном конце силой F.
Если при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими, то при поперечном они искривляются, т.е. в данном случае гипотеза Бернулли не применима.
конструкции возникает поперечная сила.
Изгиб называется поперечным, если кроме изгибающего момента в сечениях элемента
Рис. 5.13 – Консольная балка
Вырежем элементарный участок балки длиной dz. На торцевых площадках этого элемента действуют вызванные поперечными силами касательные напряжения. Примем закон распределения касательных напряжений по ширине сечения равномерным.
Плоскостью, параллельной нейтральному слою и отстоящей от него на расстояние y, отсечем часть рассматриваемого элемента с площадью торца A*. Докажем наличие на нижней грани отсеченной части касательных напряжений.
Рис. 5.14 – Элемент dz
Рассмотрим элемент отсеченной части высотой dy.
Рис. 5.15 – Отсеченный элемент
Из условий равновесия этого элемента можно заключить, что касательные напряжения действуют не только в поперечных, но и в продольных сечениях балки, параллельных нейтральному слою.
Запишем сумму моментов, вызванных действием касательных напряжений, относительно оси x:
Это так называемый закон парности касательных напряжений: на взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и противоположные по направлению касательные напряжения.
Обозначим N* равнодействующую нормальных напряжений, действующих на одном из
торцов отсеченного участка A*. Равнодействующая нормальных напряжений, действующих на противоположном торце, равна N*+dN*.
Воспользуемся интегральным уравнением равновесия (1.12)
где y1 – расстояние от нейтрального слоя до элементарной площадки dA* отсеченной части.
Получим
где S*x - статический момент отсеченной части.
Приращение равнодействующей dN* пропорционально приращению изгибающего момента dMx на участке dz:
Сумма проекций всех сил, действующих на отсеченной части, на ось z ∑ F = 0:
Полученное выражение называется формулой Журавского. В этой формуле:
S*x - статический момент части площади поперечного сечения, отсекаемый на том уровне
относительно оси изгиба, где определяется величина τ;
Jx - момент инерции всего сечения относительно оси изгиба;
b* - ширина поперечного сечения на том уровне относительно оси изгиба, где определяется величина τ.
Формула Журавского справедлива для сечений с отношением высоты к ширине h/b>2.
Искривление поперечных сечений от действия Qy незначительно влияет на закон нормальных напряжений, поэтому им в инженерных расчетах пренебрегают.
Определим закон изменения τ по высоте сечения для прямоугольного профиля.
Статический момент части сечения, отсекаемой на уровне y от нейтральной линии
Учитывая, что момент инерции для прямоугольника , получим зависимость
Определим значения касательных напряжений в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии:
Таким образом, касательные напряжения меняются по высоте сечения по квадратичной зависимости, достигая максимума на нейтральной оси.
