Напряженное и деформированное состояние

       Различают три вида напряженного состояния:

       1) линейное напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;

       2) плоское напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;

       3) объемное напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимно

перпендикулярным направлениям.

    Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут быть нормальные  σ  и касательные  τ  напряжения. При изменении положения "кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет касательных напряжений см. Рис. 2.14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.14 – Виды напряженного состояния.

 

   Площадки, по которым не действуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках — главными напряжениями.

Главные напряжения обозначают:  σ1, σ2, σ3, при этом     σ1>σ2>σ3

 

Линейное напряженное состояние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.15 – Линейное напряженное состояние

 

       Напряжения по наклонной площадке вычисляются по формуле:

 

 

 

                                      полное:                                                                                    (2.21)

                             

                              нормальное:                                                                                    (2.22)

 

                              касательное:                                                                                    (2.23)

 

 

 

       где Aα — площадь наклонной площадки.

       Нормальные напряжения σa положительны, если они растягивающие;  касательные напряжения

τa положительны, если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент (нижняя часть) по часовой стрелке (на рис. все положительно). Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам перпендикулярным к оси стержня (α=0, cosα=1, maxσa= σ=Р/А, τa=0).

       На площадках,  наклонённых под углом 450, имеем

 

 

                                                                                                                                     (2.24)

 

 

                                                                                                                                     (2.25)

 

 

       т.е. нормальные напряжения равны касательным. Касательные напряжения будут наибольшими.

       На продольных площадках, т.е. при α=900.

     Нормальные и касательные напряжения будут иметь наименьшее значение (α=900, cosα=0, σa= 0, sin2α=0, τa=0).

    На двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по абсолютной величине (Рис. 2.16).

 

 

                                                                так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.16 – Варианты действия напряжений

 

 

Плоское напряженное состояние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.17 – Плоское напряженное состояние

​

   Разрежем элементарный параллелепипед (Рис. 2.17а) наклонным сечением. Изображаем только одну плоскость. Рассматриваем элементарную треугольную призму (Рис. 2.17б). Положение наклонной площадки определяется углом α. Если поворот от оси x против час.стр. (см. Рис. 2.17б), то α>0.

     Нормальные напряжения имеют индекс, соответствующий оси их направления. Касательные напряжения, обычно, имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке, второй — направлению самого напряжения.

     Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час.стр. Напряжения на наклонной площадке:

 

 

                                                                                                                                                (2.26)

 

                                                                                                                                                (2.27)

 

                                                                                         

                                                                                                                                                (2.28)

 

 

 

   Закон парности касательных напряжений: если по площадке действует касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (τxz= — τzx)

      В теории напряженного состояния различают две основные задачи.

    Прямая задача. По известным главным напряжениям:  σ1= σ max, σ 2= σ min требуется  определить для площадки, наклоненной под заданным углом  (α)  к главным площадкам, нормальные и касательные напряжения:

 

 

                                                                                                                                             (2.29)

 

​

                                                                                                                                             (2.30)

 

​

                                                                                                                                             (2.31)

 

 

 

       Для перпендикулярной площадки:

 

 

                                                                                                                                           (2.32)

 

 

                                                                                                                                           (2.33)

 

 

      Откуда видно, что  σα+ σβ= σ1+ σ2 — сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инварианта (независима) по отношению к наклону этих площадок.

      Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения имеют место при 

α=±45, т.е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом 45.

 

         

                                                                                                                          (2.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.18 – Первая задача напряженного состояния

 

    Обратная задача. По известным нормальным и касательным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и min) напряжения и положение главных площадок.

 

 

         

                                                                                                                                                      (2.35)

​

 

       (касательные напряжения по главным площадкам равны 0).

 

      Угол  α0, определяющий положение главных площадок:  

 

         

                                                                                                                        (2.36)

                                                                 или

          

                                                                                                                        (2.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.19 – Вторя задача напряженного состояния

 

   Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то их надо обозначать  σ1, σ3, если оба отрицательны, то  σ2, σ3.

​

Круг Мора(круг напряжений)

​

      Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси s из центра С луч под углом 2a (a>0, то против час.стр.), находим точку D, координаты которой: sa,ta. Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.20– Круг Мора.