Основные теоремы о моментах инерции
Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно центральной оси параллельной данной плюс произведение квадрата расстояния между осями на площадь сечения.
Центробежный момент инерции сечения относительно произвольных осей координат равен центробежному моменту инерции относительно центральных осей параллельных данным плюс произведение площади сечения на расстояния между осями.
Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Пусть оси x и y являются центральными
(т.е. проходящими через центр тяжести сечения), и известны моменты инерции Jx, Jy, Jxy. Требуется определить моменты инерции Jx1, Jy1, Jx1y1 относительно осей x1 и y1, смещенных параллельно центральным осям на расстояния a и b соответственно.
Рис. 3.3 – К теореме о трех моментах
Координаты элементарной площадки dA в системе координат (x1, y1):
(3.18)
По определению осевого момента инерции (3.11)
(3.19)
где так как оси x и у являются центральными, т.е. проходящими через центр
тяжести площади сечения.
Таким образом,
(3.20)
Рассуждая аналогичным образом, можно получить
(3.21)
По определению центробежного момента инерции (3.13):
(3.22)
Вычисление моментов инерций простейших фигур
Прямоугольник
Сначала определим моменты инерции прямоугольника относительно осей x1 и y1.
Выделим на расстоянии y1 от оси x1 элементарную площадку dA высотой dy1 и шириной, равной ширине прямоугольника:
Рис. 3.4 – Момент инерции прямоугольника.
По определению осевого момента инерции (3.11)
Заменим интеграл по площади интегралом по высоте
Аналогично
Моменты инерции относительно центральных осей x и y определим, пользуясь теоремой о
моментах инерции относительно осей, параллельных центральным (3.20) :
Аналогично
Круг
Определим полярный момент инерции круга. Выделим на расстоянии ρ от центра круга элементарный слой dA толщиной dρ .
Рис. 3.5 – Момент инерции круга
По определению полярного момента инерции (3.14)
Заменим интеграл по площади интегралом по радиусу
Так как Jp=Jx+Jy и для круга Jx=Jy, то осевой момент инерции
Прямоугольный треугольник
Определим момент инерции треугольника относительно оси x1, совпадающей с его нижней стороной.
Рис. 3.6 – Момент инерции треугольника
Выделим на расстоянии y1 от оси x1 элементарную площадку dA высотой dy. Ширина площадки
из подобия треугольников:
Момент инерции
Относительно центральной оси
Аналогично для второй оси
Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Пусть известны моменты инерции относительно
осей x и y: Jx, Jy, Jxy. Требуется определить моменты инерции J x1, J y1, J x1y1 относительно осей x1 и y1, повернутых по отношению к осям x и y на угол α.
Выделим в окрестности точки K с координатами x и y элементарную площадку dA.
Рис. 3.7 – Поворот координатных осей
Координаты площадки dA в повернутой системе координат:
Осевые моменты инерции:
Сложив попарно левые и правые части полученных уравнений, найдем:
Таким образом, сумма моментов инерции относительно осей прямоугольной системы координат не изменяется при их повороте. Как было показано выше, эта сумма равна полярному моменту инерции относительно начала координат.
Центробежный момент инерции
